「円周率が3.05より大きい事を証明せよ」（東大理系前期）


地下鉄車内で見かけた予備校の広告である。
こんな挑発を受けて黙っていられる程大人じゃねぇ！と言う事で、
無防備丸出しで熟睡しているカップルの女性の緩く組まれた脚の奥を睨むのはやめにして
懸命に解答を考え出した次第。
高校生の頃は理系の癖に数学が赤点ばかりだったが何としても答えてやるぜ！
と意気込みはするものの、諸々不安な点が幾つかあった。

・解答の方針は立てたが、「何故それで着手したのか」を説明出来ない。
・「3.05」という数字をどこかで上手く使う事がエレガントな解答なんだろうが、
　俺の解答方針だと使いどころが余り（というか全く）無い。
・力技なのは仕方無いにしても、余りにインテリジェンスを欠いた解答である。
・計算がめんどくさく、脳内では完結しない。
・このエントリを上げるに当たって解答用の図を描いたが、
　ノートPCのタッチマウスは酷く描き辛い（言い訳）

以降は追記分の方で。

尚、断っておくが、今のところまだ模範解答のページは見ていない。
地下鉄広告には「解答は河合塾（だったかな）のHPに掲載しております」
と書かれていたが、それは何か？続きはwebで！のノリか？
解答が気になるんだよ馬鹿野郎！
そして自分で考えないで解答を見てしまうのは何か嫌なんだよ！
って事は真面目に解答しなきゃ駄目で、それでやってみたのが以下のものなんだよ！

それでは「動物のお医者さん的に言えばH大の工学部に辛うじて引っ掛かってから早12年が経過し、その受験以来錆付きまくってガタが来ているであろう三十路男が意地になってノートにシャーペン走らせて作った解答」です。どうぞ。
（何度も言うが、エントリを上げても暫くは模範解答なんか見ないんだからな！）

解答方針は以下の通り。 
中心をA、半径rをとする円に対し 
円の中心Aを頂点として円周に内接する二等辺三角形を△ABCとする。 
∠BAC（この書き方自信ねぇな）の角度と半径rが解れば、辺BCの長さは算出出来る。これをxとする。 
辺BCを「高校三年生的に算出出来る角度を用いて計算」（卑怯か？）し、 
360°÷（∠BAC）で算出される数値（仮にZとする）で掛ければ、 
「円周より小さい」正Z角形の外周の長さ（便宜上Mとする）が半径rを用いて表現される。 
円周=2πrの公式から、M＜2πrの関係が成り立つ。 
後はBCの具体的数値（というか半径rとの比）をしこしこ計算して 
M＜2πrから、円周率（π）が3.05よりは大きいって事を証明すればいい。 

↑
ノートPCについてるタッチマウスの限界なのでご容赦頂きたい。


∠BACを30°として解答開始。方針は二等辺三角形ABCの辺BCをrを用いて計算し、360°÷30°＝12で掛けてMを計算する。 
この場合、M＝12xとなる。xをrを用いて表現出来ればよい。 

頂点Bから辺ACに垂線を下ろし、辺ACとの接点をC'とする。 
直角三角形ABC'は角Aが30°、角C'が90°なので、角Bは60°となる。 
辺AB（円の半径）＝rなので、三平方の定理（というかsin30°）より 
辺AC'＝√3/2r（解って頂きたい）　辺BC'＝1/2r 

ここから三角形BC'Cを考える。辺C'Cの長さは(1-√3/2)rである。 
三角形BC'Cは直角三角形なので、三平方の定理が成立する。 
x~2＝（1/2）~2r~2＋（1-√3/2）~2r~2　（~2は二乗を表現） 

これをシコシコ計算したら以下の通りになりました。 
x~2＝（2-√3）~2r~2･･･････（１） 

これを更に計算しちゃったらめんどくさいので、 
以下の関係を持ち出す。 
M＜2πr 

rを1以上とした場合、以下の関係が成り立つ。 
M~2＜4π~2r~2 

M=12xなんで、144x~2＜4π~2r~2と出来る。 
ここでx~2にさっきの計算結果（１）を代入し、 
更にr=1とする。（計算がめんどいから） 
これで「具体的な数値とπ~2の関係」が解る。 

結果 
36(2-√3)＜π~2 
√3を1.732として計算したら、π~2＞9.648となる。
3.05~2＝9.3025、3.10~2＝9.61であるので 
πは「少なくとも」3.10よりは確実に大きい。 
よって「πは3.05より大きい」事が証明される。 

以上。 



ああ、やっぱ駄目だ。スッキリしねぇ･････
「何となくこれでイケるだろうという曖昧な予想の元に計算を始めて、
　ああ3.05どころか3.10より大きい事が何となく証明出来たね。
　ハイハイおめでとうおめでとう。･････プゲラッチョｗ
　で、3.05はどう使ったのｗｗｗ」
みたいな感じを見て取られてる気がするのだ！ああ、恥ずかしい！

受験生は凄いな。これを時間のマネージメントしながら解くんだもん。
もう一回高校生に戻れたとしても、もう受験なんかやりたくねー！
あんなプレッシャーには勝てる自信が無い。

ところで、東京大学物語が連載していた頃、まさに自分も受験生だったんで
函館時代の数学矢野先生（だったかな）の
「うむ･･･エレガントな解答だ･･･」
という台詞には痺れていた。
俺もあんな事言われてみたかった。
数学と、3年生の頃の数学の先生は大嫌いだったけど。


あの漫画は何が面白かったって、受験マシーンみたいな主人公が
その脳味噌を使って勉強の他にスケベな妄想をするのに余念が無く
またその妄想もハイスペックな脳を使用したもので非常に密度が濃かったり
それが急に一つの事にロックされたり何だのと、高校生の気持ちみたいなもんを
面白おかしく描いてるところだと個人的には思っている。

なので、正直に言えば仮面浪人編以降は面白く無い。
最後の夢のまた夢オチは言語道断だが、幕引きにはアレしかなかった気がする。
性行為にかまけて東大落ちた段階で終了してればよかったのに････
（あんな鮮烈な経験が、東京にさえ出ればいつか出来る･･･
　････そう思ってた時期が俺にもありました･･･）

山形行ってきます。